Lineární algebra
Předcházející | Kapitola 11. Seznam funkcí GEL | Další

## Lineární algebra

AuxiliaryUnitMatrix

      AuxiliaryUnitMatrix (n)

  Získat pomocnou jednotkovou matici velikosti `n`. Jde o čtvercovou matici ze samých nul vyjma diagonály, na které jsou jedničky. Je to Jordanův blok s jedním vlastním číslem nula.

  Více informací o Jordanově kanonické formě najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině), Mathworld (text je v angličtině) nebo Wikipedia.

BilinearForm

      BilinearForm (v,A,w)

  Spočítat (v,w) vzhledem k bilineární formě dané maticí A.

BilinearFormFunction

      BilinearFormFunction (A)

  Vrátit funkci takovou, že vyhodnocuje dva vektory vzhledem k bilineární formě dané maticí A.

CharacteristicPolynomial

      CharacteristicPolynomial (M)

  Alternativní názvy: `CharPoly`

  Získat charakteristický polynom v podobě vektoru. Konkrétně vrací koeficienty polynomu počínaje konstantním členem. Jedná se o polynom definovaný pomocí `det(M-xI)`. Kořeny tohoto polynomu jsou vlastní čísla matice `M`. Viz CharacteristicPolynomialFunction.

  Více informací najdete v encyklopediích Wikipedia (text je v anličtině) a Planetmath (text je v angličtině).

CharacteristicPolynomialFunction

      CharacteristicPolynomialFunction (M)

  Získat charakteristický polynom v podobě funkce. Jedná se o polynom definovaný pomocí `det(M-xI)`. Kořeny tohoto polynomu jsou vlastní čísla matice `M`. Viz CharacteristicPolynomial.

  Více informací najdete v encyklopediích Wikipedia (text je v anličtině) a Planetmath (text je v angličtině).

ColumnSpace

      ColumnSpace (M)

  Získat bázi matice pro prostor sloupců matice. Prakticky se vrátí matice, jejíž sloupce jsou bázemi pro prostor sloupců matice `M`. To je prostor rozložený podle sloupců matice `M`.

  Více informací najdete v encyklopedii Wikipedia (text je v angličtině).

CommutationMatrix

      CommutationMatrix (m, n)

  Vrátit komutační matici `K(m,n)`, což je jedinečná matice velikosti `m*n` krát `m*n`, která splňuje `K(m,n) * MakeVector(A) = MakeVector(A.')` pro všechny matice `A` velikosti `m` krát `n`.

CompanionMatrix

      CompanionMatrix (p)

  Doplňková matice polynomu (jako vektor).

ConjugateTranspose

      ConjugateTranspose (M)

  Konjugovaná transpozice matice (adjungovaná). Je to stejné jako operátor `'`.

  Více informací najdete v encyklopediích Wikipedia (text je v angličtině) a Planetmath (text je v angličtině).

Convolution

      Convolution (a,b)

  Alternativní názvy: `convol`

  Spočítat konvoluci dvou vodorovných vektorů.

ConvolutionVector

      ConvolutionVector (a,b)

  Spočítat konvoluci dvou vodorovných vektorů. Výsledek vrátí jako vektor a ne sečtené dohromady.

CrossProduct

      CrossProduct (v,w)

  Vektorový součin dvou vektorů v R3 jako sloupcový vektor.

  Více informací najdete v encyklopedii Wikipedia.

DeterminantalDivisorsInteger

      DeterminantalDivisorsInteger (M)

  Získat determinantové dělitele celočíselné matice.

DirectSum

      DirectSum (M,N...)

  Přímý součet matic.

  Více informací najdete v encyklopedii Wikipedia.

DirectSumMatrixVector

      DirectSumMatrixVector (v)

  Přímý součet vektoru matic.

  Více informací najdete v encyklopedii Wikipedia.

Eigenvalues

      Eigenvalues (M)

  Alternativní názvy: `eig`

  Získat vlastní čísla čtvercové matice. V současnosti pracuje pouze pro matice do velikosti 4 krát 4 nebo pro trojúhelníkové matice (pro které jsou vlastní čísla na diagonále).

  Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině), Mathworld (text je v angličtině) a Wikipedia.

Eigenvectors

      Eigenvectors (M)

      Eigenvectors (M,&vlastni_cisla)

      Eigenvectors (M, &vlastni_cisla, &nasobnosti)

  Získat vlastní vektory čtvercové matice. Volitelně získat také vlastní čísla a jejich algebraické násobnosti. V současnosti pracuje pouze s maticemi do velikosti 2 krát 2.

  Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině), Mathworld (text je v angličtině) a Wikipedia.

GramSchmidt

      GramSchmidt (v,B...)

  Použít Gramův-Schmidtův proces (na sloupce) vzhledem k unitárnímu prostoru danému `B`. Pokud `B` není zadáno, je použit standardní hermitovský součin. `B` může být buď polybilineární funkce dvou argumentů nebo to může být matice v polybilineární formě. Vektory budou vytvořeny ortogonální vzhledem k `B`.

  Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině) a Wikipedia.

HankelMatrix

      HankelMatrix (c,r)

  Henkelova matice, což je matice se stejnými vedlejšími diagonálami. `c` je první řádek a `r` je poslední sloupec. Předpokládá se, že oba argumenty budou vektory a poslední prvek `c` bude stejný jako první prvek `r`.

  Více informací najdete v encyklopedii Wikipedia (text je v angličtině).

HilbertMatrix

      HilbertMatrix (n)

  Hilbertova matice řádu `n`.

  Více informací najdete v encyklopediích Wikipedia (text je v angličtině) a Planetmath (text je v angličtině).

Image

      Image (T)

  Získat obraz (sloupcový prostor) lineární transformace.

  Více informací najdete v encyklopedii Wikipedia (text je v angličtině).

InfNorm

      InfNorm (v)

  Získat k vektoru normu typu nekonečno, někdy také nazývanou maximální norma.

InvariantFactorsInteger

      InvariantFactorsInteger (M)

  Získat invariantní činitele čtvercové celočíselné matice.

InverseHilbertMatrix

      InverseHilbertMatrix (n)

  Inverzní Hilbertova matice řádu `n`.

  Více informací najdete v encyklopediích Wikipedia (text je v angličtině) a Planetmath (text je v angličtině).

IsHermitian

      IsHermitian (M)

  Je matice hermitovská? Tj. zda je rovna své konjugované transpozici.

  Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině) a Wikipedia (text je v angličtině).

IsInSubspace

      IsInSubspace (v,W)

  Zjistit, zda je vektor v podprostoru.

IsInvertible

      IsInvertible (n)

  Je matice (nebo číslo) invertovatelná (matice celých čísel je invertovatelná, když je invertovatelná nad celými čísly)?

IsInvertibleField

      IsInvertibleField (n)

  Je matice (nebo číslo) invertovatelná nad tělesem.

IsNormal

      IsNormal (M)

  Je `M` normální matice. To jest, zda `M*M' == M'*M`.

  Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině) nebo Mathworld (text je v angličtině).

IsPositiveDefinite

      IsPositiveDefinite (M)

  Je matice `M` hermitovská pozitivně definitní matice? To znamená, zda je `HermitianProduct(M*v,v)` vždy striktně pozitivní pro libovolný vektor `v`. `M` musí být čtvercová a hermitovská, aby byla pozitivně definitní. Kontrola, zda tomu tak je, spočívá v tom, zda každá hlavní podmatice má nezáporný determinant. (Viz HermitianProduct)

  Poznamenejme, že někteří autoři (např. Mathworld) nevyžadují, aby matice `M` byla hermitovská a tak podmínka není skutečnu částí unitárního prostoru, ale neberte to za dogma. Pokud chcete takovou kontrolu provést, jednoduše zkontrolujte hermitovskou část matice `M` takto: `IsPositiveDefinite(M+M')`.

  Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině), Mathworld (text je v angličtině) a Wikipedia.

IsPositiveSemidefinite

      IsPositiveSemidefinite (M)

  Je matice `M` hermitovská pozitivně semidefinitní matice? To znamená, zda je `HermitianProduct(M*v,v)` vždy nezáporná pro libovolný vektor `v`. `M` musí být čtvercová a hermitovská, aby byla pozitivně semidefinitní. Kontrola, zda tomu tak je, spočívá v tom, zda každá hlavní podmatice má nezáporný determinant. (Viz HermitianProduct)

  Poznamenejme, že někteří autoři (např. Mathworld) nevyžadují, aby matice `M` byla hermitovská a tak podmínka není skutečnu částí unitárního prostoru, ale neberte to za dogma. Pokud chcete takovou kontrolu provést, jednoduše zkontrolujte hermitovskou část matice `M` takto: `IsPositiveSemidefinite(M+M')`.

  Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině) nebo Mathworld (text je v angličtině).

IsSkewHermitian

      IsSkewHermitian (M)

  Je matice antihermitovská? To znamená, zda je konjugovaná transpozice rovna negativní matici.

  Více informací najdete v encyklopedii Planetmath (text je v angličtině).

IsUnitary

      IsUnitary (M)

  Je matice unitární? To je, zda `M'*M` a `M*M'` dají stejnou jednotkovou matici.

  Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině), Mathworld (text je v angličtině) nebo Wikipedia.

JordanBlock

      JordanBlock (n,lambda)

  Alternativní názvy: `J`

  Získat Jordanův blok odpovídající vlastnímu číslu `lambda` s násobností `n`.

  Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině), Mathworld (text je v angličtině) a Wikipedia.

Kernel

      Kernel (T)

  Získat jádro (nulový prostor) lineární transformace.

  (Viz NullSpace)

KroneckerProduct

      KroneckerProduct (M, N)

  Alternativní názvy: `TensorProduct`

  Spočítat Kroneckerův součin (tenzorový součin ve standardní bázi) dvou matic.

  Více informací najdete v encyklopediích Wikipedia (text je v angličtině), Planetmath (text je v angličtině) a Mathworld (text je v angličtině).

  Verze 1.0.18 a novější.

LUDecomposition

      LUDecomposition (A, L, U)

  Získat LU rozklad matice `A` tak, že se najde dolní a horní trojúhelníková matice, jejichž součinem je `A`. Výsledek se uloží v `L` a `U`, což by měly být odkazy na proměnné. V případě úspěchu vrací `true`. Například předpokládejme, že A je čtvercová matice, pak po spuštění:

      genius> LUDecomposition(A,&L,&U)

  budete mít dolní matici uloženou v proměnné s názvem `L` a horní matici v proměnné s názvem `U`.

  Jedná se o LU rozklad matice známý také jako Croutův a/nebo Choleského rozklad. (ISBN 0-201-11577-8 pp.99-103) Horní trojúhelníková matice zahrnuje diagonálu hodnot 1. Nejedná se o Doolittlovu metodu, která zahrnuje diagonálu jedniček do dolní matice.

  Ne všechny matice mají LU rozklad, například `[0,1;1,0]` jej nemá a tato funkce v takovém případě vrátí `false` a nastaví `L` a `U` na `null`.

  Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině), Mathworld (text je v angličtině) a Wikipedia.

Minor

      Minor (M,i,j)

  Získat subdeterminant (též minor) `i`-`j` matice.

  Více informací najdete v encyklopedii Planetmath.

NonPivotColumns

      NonPivotColumns (M)

  Vrátit sloupce matice, které nemají pivot.

Norm

      Norm (v,p...)

  Alternativní názvy: `norm`

  Získat normu typu p (nebo typu 2, pokud není zadáno p) vektoru.

NullSpace

      NullSpace (T)

  Získat nulový prostor matice. Tj. jádro lineární transformace, která matici představuje. Výsledek se vrací v podobě matice, jejíž sloupcový prostor je nulovým prostorem z `T`.

  Více informací najdete v encyklopedii Planetmath (text je v angličtině).

Nullity

      Nullity (M)

  Alternativní názvy: `nullity`

  Získat nulovost matice. Tzn. vrátit rozměry nulového prostoru; rozměry jádra matice `M`.

  Více informací najdete v encyklopedii Planetmath (text je v angličtině).

OrthogonalComplement

      OrthogonalComplement (M)

  Získat ortogonální doplněk sloupcového prostoru.

PivotColumns

      PivotColumns (M)

  Vrátit sloupce matice s pivoty, tzn. sloupce, které mají 1 v řádkově redukované podobě. Rovněž vrací řádek, ve kterém se vyskytly.

Projection

      Projection (v,W,B...)

  Projekce vektoru `v` do podprostoru `W` vzhledem k unitárnímu prostoru danému `B`. Pokud `B` není zadáno, je použit standardní hermitovský součin. `B` může být buď polybilineární funkce dvou argumentů nebo to může být matice v polybilineární formě.

QRDecomposition

      QRDecomposition (A, Q)

  Získat QR rozklad čtvercové matice `A`, vrací horní trojúhelníkovou matici `R` a nastavuje `Q` na ortogonální (unitární) matici. `Q` by měl být odkaz na proměnnou nebo `null`, pokud nic vrátit nechcete. Například pro

      genius> R = QRDecomposition(A,&Q)

  budete mít horní trojúhelníkovou matici uloženou v proměnné s názvem `R` a ortogonální (unitární) matici v `Q`.

  Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině), Mathworld (text je v angličtině) a Wikipedia.

RayleighQuotient

      RayleighQuotient (A,x)

  Vrátit Rayleighův podíl (nazývaný také Rayleighův-Ritzův koeficient nebo podíl) matice a vektoru.

  Více informací najdete v encyklopedii Planetmath (text je v angličtině).

RayleighQuotientIteration

      RayleighQuotientIteration (A,x,epsilon,maxiter,vecref)

  Najít vlastní čísla matice `A` pomocí iterační metody Rayleighova podílu. `x` je odhadovaný vlastní vektor a mohl by být náhodný. Měl by mít nenulovou imaginární část, pokud existuje nějaká možnost, že budou nalezena komplexní vlastní čísla. Kód bude nanejvýše v `maxiter` iteracích a vracet `null`, pokud není možné získat výsledek v rámci chyby `epsilon`. `vecref` by měl být buď `null` nebo odkaz na proměnnou, do které by se měl uložit vlastní vektor.

  Více informací o Rayleighově podíle najdete v encyklopedii Planetmath (text je v angličtině).

Rank

      Rank (M)

  Alternativní názvy: `rank`

  Získat hodnost matice.

  Více informací najdete v encyklopedii Planetmath (text je v angličtině).

RosserMatrix

      RosserMatrix ()

  Vrátit Rosserovu matici, která je klasickým symetrickým problémem testu vlastního čísla.

Rotation2D

      Rotation2D (úhel)

  Alternativní názvy: `RotationMatrix`

  Vrátit matici odpovídající otočení okolo počátku v R2.

Rotation3DX

      Rotation3DX (úhel)

  Vrátit matici odpovídající otočení okolo počátku v R3 kolem osy x.

Rotation3DY

      Rotation3DY (úhel)

  Vrátit matici odpovídající otočení okolo počátku v R3 kolem osy y.

Rotation3DZ

      Rotation3DZ (úhel)

  Vrátit matici odpovídající otočení okolo počátku v R3 kolem osy z.

RowSpace

      RowSpace (M)

  Získat bázi matice pro prostor řádků matice.

SesquilinearForm

      SesquilinearForm (v,A,w)

  Vyhodnotit (v,w) vzhledem k polybilineární formě dané maticí `A`.

SesquilinearFormFunction

      SesquilinearFormFunction (A)

  Vrátit funkci vyhodnocující dva vektory vzhledem k polybilineární formě dané maticí `A`.

SmithNormalFormField

      SmithNormalFormField (A)

  Vrátit Smithův kanonický tvar (normální forma) matice nad poli (bude končit s jedničkami na diagonále).

  Více informací najdete v encyklopedii Wikipedia (článek je v angličtině).

SmithNormalFormInteger

      SmithNormalFormInteger (M)

  Vrátit Smithův kanonický tvar (normální formu) pro čtvercové celočíselné matice nad celými čísly.

  Více informací najdete v encyklopedii Wikipedia (článek je v angličtině).

SolveLinearSystem

      SolveLinearSystem (M,V,argumenty...)

  Vyřešit lineární systém Mx=V, vrátit řešení V, pokud existuje jedinečné řešení, jinak vrátit `null`. Je možné použít dva dodatečné parametry předávané odkazem, ve kterých získáte redukované M a V.

ToeplitzMatrix

      ToeplitzMatrix (s, r...)

  Vrátit Teplitzovu matici sestavenou podle zadaného prvního sloupce `c` a (volitelně) prvního řádku `r`. Pokud je zadán pouze sloupec `c`, je pro první řádek použita konjugovaná a nekonjugovaná verze, aby se získala hermitovská matice (samozřejmě za předpokladu, že je první prvek reálný).

  Více informací najdete v encyklopediích Wikipedia (text je v angličtině) a Planetmath (text je v angličtině).

Trace

      Trace (M)

  Alternativní názvy: `trace`

  Spočítat stopu matice. Jedná se o součet prvků na hlavní diagonále čtvercové matice.

  Více informací najdete v encyklopediích Wikipedia a Planetmath (text je v angličtině).

Transpose

      Transpose (M)

  Transponovat matici. Funkčně je to stejné, jako operátor `.'`.

  Více informací najdete v encyklopediích Wikipedia a Planetmath (text je v angličtině).

VandermondeMatrix

      VandermondeMatrix (v)

  Alternativní názvy: `vander`

  Vrátit Vandermondovu matici.

  Více informací najdete v encyklopedii Wikipedia.

VectorAngle

      VectorAngle (v,w,B...)

  Úhel dvou vektorů vzhledem k unitárnímu prostoru daného `B`. Pokud `B` není zadáno, je použit standardní hermitovský součin. `B` může být buď polybilineární funkce dvou argumentů nebo to může být matice v polybilineární formě.

VectorSpaceDirectSum

      VectorSpaceDirectSum (M,N)

  Přímý součet vektorových prostorů M a N.

VectorSubspaceIntersection

      VectorSubspaceIntersection (M,N)

  Průnik podprostorů daných pomocí M a N

VectorSubspaceSum

      VectorSubspaceSum (M,N)

  Součet vektorových prostorů M a N, tj. {w | w=m+n, m in M, n in N}.

adj

      adj (m)

  Alternativní názvy: `Adjugate`

  Získat adjungovanou (reciproku) matici.

cref

      cref (M)

  Alternativní názvy: `CREF` `ColumnReducedEchelonForm`

  Spočítat sloupcově odstupňovaný tvar matice.

det

      det (M)

  Alternativní názvy: `Determinant`

  Získat determinant matice.

  Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině) a Wikipedia.

ref

      ref (M)

  Alternativní názvy: `REF` `RowEchelonForm`

  Získat řádkově odstupňovaný tvar matice. To jest, použít Gaussovu eliminaci, ale bez zpětného dosazování do `M`. Nenulové řádky jsou poděleny, aby všechny pivoty byly 1.

  Více informací najdete v encyklopediích Wikipedia (text je v angličtině) a Planetmath (text je v angličtině).

rref

      rref (M)

  Alternativní názvy: `RREF` `ReducedRowEchelonForm`

  Získat redukovaný řádkově odstupňovaný tvar matice. To jest, použít Gaussovu eliminaci se zpětným dosazováním do `M`.

  Více informací najdete v encyklopediích Wikipedia (text je v angličtině) a Planetmath (text je v angličtině).

Předcházející | Nahoru | Další
Práce s maticemi | Domů | Kombinatorika