### 6.20.4 Somme de Riemann : `sum_riemann`

`sum_riemann` a deux arguments : une expression `Xpr` dépendant de deux variables et la liste des noms de ces deux variables.
`sum_riemann(Xpr(n,k),[n,k])` renvoie un équivalent, au voisinage de n=+∞, de ∑k=1n Xpr(n,k) ou de ∑k=0n−1 Xpr(n,k) ou de ∑k=1n−1 Xpr(n,k), lorsque la somme considérée est une somme de Riemann associée à une fonction continue sur [0,1] ou répond quand la recherche a été infructueuse `"ce n’est probablement pas une somme de Riemann"` .
Exercice 1
Soit Sn=∑k=1n k2/n3.
Calculer limn → +∞ Sn.
On tape :

`sum_riemann(k```^```2/n```^```3,[n,k])`

On obtient :

`1/3`

car :

n
∑
k=1
k2
n3
| = |
1
n
n
∑
k=1
k2
n2

est la somme de riemann associée à :

∫ |
1
0
| x2dx= |
1
3

Exercice 2
Soit Sn=∑k=1n k3/n4.
Calculer limn → +∞ Sn.
On tape :

`sum_riemann(k```^```3/n```^```4,[n,k])`

On obtient :

`1/4`

car :

n
∑
k=1
k3
n4
| = |
1
n
n
∑
k=1
k3
n3

est la somme de riemann associée à :

∫ |
1
0
| x3dx= |
1
4

Exercice 3
Calculer limn → +∞(1/n+1+1/n+2+...+1/n+n).
On tape :

`sum_riemann(1/(n+k),[n,k])`

On obtient :

`log(2)`

car :

n
∑
k=1
1
n+k
| = |
1
n
n
∑
k=1
1
1+(k/n)

est la somme de riemann associée à :

∫ |
1
0
1
1+x
| dx=ln(1+1)=ln(2)

Exercice 4
Soit Sn=∑k=1n 32n3/16n4−k4.
Calculer limn → +∞ Sn.
On tape :

`sum_riemann(32*n```^```3/(16*n```^```4-k```^```4),[n,k])`

On obtient :

`2*atan(1/2)+log(3)`

car :

n
∑
k=1
32n3
16n4−k4
| = |
1
n
n
∑
k=1
32
16−(k/n)4

est la somme de riemann associée à :

∫ |
1
0
32
16−x4
| dx= | ∫ |
1
0
1
x+2
| − |
1
x−2
4
x2+4

qui vaut donc ln(3)−ln(2)+ln(2)−ln(1)+2 atan (1/2)=ln(3)+2 atan (1/2)
Exercice 5
Calculer limn → +∞(n/n2+12+n/n2+22+...+n/n2+n2).
On tape :

`sum_riemann(n/(n```^```2+k```^```2),[n,k])`

On obtient :

`pi/4`

car :

n
∑
k=1
n
n2+k2
| = |
1
n
n
∑
k=1
1
1+(k/n)2

est la somme de riemann associée à :

∫ |
1
0
1
1+x2
| dx= atan (1)= |
π
4

Exercice 6
Calculer limn → +∞(1/√n2+12+1/√n2+22+...+1/√n2+n2).
On tape :

`sum_riemann(1/sqrt(n```^```2+k```^```2),[n,k])`

On obtient :

`-ln(sqrt(2)-1)`

car :

n
∑
k=1
1
√ |
n2+k2
| = |
1
n
n
∑
k=1
1
√ |
1+(k/n)2

est la somme de riemann associée à :

∫ |
1
0
1
√ |
1+x2
| dx=ln(1+ | √ |
1+12
| −ln(0+ | √ |
1+02
| =ln(1+ | √ |
2