### 6.30.3 Test d’appartenance d’un polynôme ou d’une liste de polynômes à un idéal donné par une base de Groebner : `in_ideal`

`in_ideal` a trois (ou quatre) arguments : un polynôme ou d’une liste de polynômes, une liste donnant une base de Groebner, la liste des variables des polynômes.
On peut donner des arguments supplémentaires à `in_ideal` comme pour `gbasis` (`plex`(par défaut),`tdeg`,`plex`...cf. 6.30.1), c’est d’ailleurs nécessaire si on a calculé une base de Gröbner avec un ordre différent de celui par défaut (qui est l’ordre lexicographique pur `plex`), dans ce cas `in_ideal` doit utiliser le même ordre.
`in_ideal` teste si le polynôme ou les polynômes du 1ier argument sont dans l’idéal engendré par la base de Groebner,par rapport à une liste de variables et renvoie `vrai` ou `faux` ou une liste composée de `vrai` ou de `faux`.
On tape :

`in_ideal((x+y)^2,[y^2,x^2+2*x*y],[x,y])`

On obtient

`[vrai]`

On tape :

`in_ideal([(x+y)^2,x+y],[y^2,x^2+2*x*y],[x,y])`

On obtient

`[vrai,faux]`

On tape :

`in_ideal(x+y,[y^2,x^2+2*x*y],[x,y])`

On obtient

`[faux]`

On tape :

|gbasis([x1+x2+x3,x1*x2+x1*x3+x2*x3,x1*x2*x3-1],|
`[x1,x2,x3],tdeg)` `in_ideal([(x1+x2+x3)^3,x1+x2+x3],[x1+x2+x3,-x2^2-x2*x3-x3^2,x3^3-1],`
`[x1,x2,x3],tdeg)`

On obtient

`[vrai,vrai]`