### 6.20.3 Somme indicée finie et infinie et primitive discrète : `sum`

`sum` a deux, quatre ou cinq arguments :

- Avec 5 arguments `sum(Xpr,Var,a,b,p)` renvoie la somme demandée c’est à dire renvoie la somme des valeurs de l’expression `Xpr` quand la variable `Var` va de `a` à `b` avec un pas égal à `p`.
  On tape :
  `sum(x```^```2+1,x,1,5,1)`
  Ou on tape :
  `sum(x```^```2+1,x,1,5)`
  Ou on tape :
  `sum(x```^```2+1,x,5,1,1)`
  Ou on tape :
  `sum(x```^```2+1,x,5,1,-1)`
  On obtient :
  `60`
  En effet :
  2+5+10+17+26=60
  On tape :
  `sum(x```^```2+1,x,1,5,2)`
  On obtient :
  `38`
  En effet :
  2+10+26=38
- Avec 4 ou 2 arguments, `sum(Xpr,Var,a,b)` ou `sum(Xpr,Var=a..b)` n’a pas la même valeur selon que `a` est plus petit ou égal à `b` ou non, car on veut avoir l’égalité :
  `sum(Xpr,Var,a,b)=sum(Xpr,Var,a,c)+sum(Xpr,Var,c+1,b)`.
  Aussi, lorsque le pas `p` n’est pas précisé on a :
  - si `a` est inférieur à `b`,
    `sum(Xpr,Var,a,b)` renvoie la somme des valeurs de l’expression `Xpr` quand la variable `Var` va de `a` à `b` avec un pas de `1` : cette syntaxe est compatible avec Maple.
    Ainsi si `a<= b` on a :
    `sum(Xpr,Var,a,b)`=`sum(Xpr,Var,a,b,1)`.
    On tape :
    `sum(x```^```2+1,x,1,5)`
    Ou on tape :
    `sum(x```^```2+1,x=1..5)`
    On obtient :
    `60`
    En effet :
    2+5+10+17+26=60
  - si `a` est supérieur à `b+1`,
    `sum(Xpr,Var,a,b)` renvoie l’opposé de la somme des valeurs de l’expression `Xpr` quand la variable `Var` va de `b+1` à `a-1` avec un pas de `1` : cette syntaxe est compatible avec Maple.
    On tape :
    `sum(x```^```2+1,x,5,1)`
    On obtient :
    `-32`
    En effet :
    −(5+10+17)=−32 Attention on n’obtient pas la même chose si on précise le pas (avec p=1 ou p=−1)
    On tape :
    `sum(x```^```2+1,x,5,1,-1)`
    Ou on tape :
    `sum(x```^```2+1,x,5,1,1)`
    On obtient :
    `60`
    Car on a :
    2+5+10+17+26=60
    On tape :
    `sum(x```^```2+1,x,4,1)`
    On obtient :
    `-15`
    En effet :
    −(5+10)=−15
  - si `a` est égal à `b+1`,
    `sum(Xpr,Var,b+1,b)` renvoie 0.
    On tape :
    `sum(x```^```2+1,x,5,4)`
    Ou on tape :
    `sum(x```^```2+1,x=5..4)`
    On obtient :
    `0`
- si `sum` a deux arguments :
  `sum` a comme premier argument une expression (par exemple f(x)) d’une variable (par exemple x) qui est donnée comme deuxième argument.
  `sum` renvoie la primitive discrète de cette expression, c’est à dire la fonction G verifiant G(x+1)−G(x)=f(x).
  On tape :
  `sum(x,x)`
  On obtient :
  `(x```^```2-x)/2`
  Donc :
  4+5+...19=(20`^`2−20)/2−(4`^`2−4)/2=190−6=184 On tape :
  `sum(1/(x*(x+1)),x)`
  On obtient :
  `-1/x`
  On tape :
  `sum(cos(p*x),p)`
  On obtient :
  `(-cos(p*x)*cos(x)+cos(p*x)-sin(p*x)*sin(x))/(2*cos(x)-2)`

Autes Exemples
On tape :

`sum(k,k,2,6)`

On obtient :

`20`

On tape :

`sum(k,k,7,2)`

On obtient :

`-18`

On tape :

`sum(k,k,3,2)`

On obtient :

`0`

On tape :

`sum(1,k,-2,n)`

On obtient :

`n+1+2`

On tape :

`normal(sum(2*k-1,k,1,n))`

On obtient :

`n```^```2`

On tape :

`sum(1/(n```^```2),n,1,10)`

On obtient :

`1968329/1270080`

On tape :

`sum(1/(n```^```2),n,1,+(infinity))`

On obtient :

`pi```^```2/6`

On tape :

`sum((-1)```^```n/(2*n+1)!,n,0,+(infinity))`

On obtient :

`sin(1))`

On tape :

`sum(1/(3*n)!,n,0,+(infinity))`

On obtient :

`(2*cos((sqrt(3))/2)*exp(1/-2)+exp(1))/3`

On tape :

`sum(1/(n*2```^```n),n,1,+(infinity))`

On obtient :

`-(ln(1/2))`

On tape :

`sum((-1)```^```n/(2*n+1),n,0,+(infinity))`

On obtient :

`pi/4`

On tape :

`assume(x>0 && x<1);
sum(x```^```(2*n)/(2*n+1),n,0,+(infinity))`

On obtient :

`x,(-ln(-x+1)+ln(x+1))/(2*x)`

On tape :

`sum(1/(n```^```3-n),n,2,10)`

On obtient :

`27/110`

On tape :

`sum(1/(n```^```3-n),n,1,+(infinity))`

On obtient :

`1/4`

Pour justifier ce résultat on décompose `1/(n```^```3-n)`, on tape :

`partfrac(1/(n```^```3-n))`

On obtient :

`1/(2*(n+1))-1/n+1/(2*(n-1))`

Donc quand on fait la somme de `2` à `N` on a :
∑n=2N −1/n=−∑n=1N−1 1/n+1=−1/2−∑n=2N−2 1/n+1−1/N
1/2*∑n=2N 1/n−1=1/2*(∑n=0N−2 1/n+1)=1/2*(1+1/2+∑n=2N−21/n+1)
1/2*∑n=2N 1/n+1=1/2*(∑n=2N−2 1/n+1+1/N+1/N+1)
les termes ∑n=2N−2 se détruisent et il reste :
−1/2+1/2*(1+1/2)−1/N+1/2*(1/N+1/N+1)=1/4−1/2N(N+1)
d’ou les résultat précédents :
- pour N=10 la somme vaut : 1/4−1/220=27/110
- pour N=+∞ la somme vaut : 1/4 car 1/2N(N+1) tend vers zéro quand N tend vers l’infini.