### 8.5.6 Des exemples

Voici quelques exercices :

1. Exercice
   Pour tester l’efficacité d’un vaccin antigrippal on soumet 300 personnes à une expérience :
   - sur 100 personnes non vaccinées, 32 sont atteintes par la grippe,
   - sur 200 personnes vaccinées, 50 sont atteintes par la grippe,
   Ce résultat permet-il d’apprécier l’efficacité du vaccin ?
   On calcule les valeurs f1 et f2 qui sont les proportions des grippés des deux échantillons on tape :
   `f1:=32/100`
   `f2:=50/200`
   On tape :
   `f1-f2`
   On obtient :
   `7/100`
   Donc |f1−f2|=0.07
   On calcule la valeur p proportion des grippés lorsqu’on reunit les deux échantillons on tape :
   `p:=82/300`
   On obtient :
   `41/150`
   Donc p≃ 0.273333333333
   On calcule s12, on tape :
   `s12:=sqrt(p*(1-p)*(1/100+1/200))`
   On obtient :
   `sqrt(4469/1500000)`
   Donc s12 ≃ 0.0545832697201
   On tape :
   `normalt([32,100],[50,200],0.0545832697201,’!=’,0.05)`
   On obtient :
   `0`
   et en vert le resumé du test :
   Moyenne estimee en utilisant le(s) echantillon(s) 125
   *** TEST RESULT 0 ***
   Summary Z-Test null hypothesis mu1=mu2, alt. hyp. mu1!=mu2. Test returns 0 if probability to observe data is less than 0.05 (null hyp. mu1=mu2 rejected with less than alpha probability error) Test returns 1 otherwise (can not reject null hypothesis) Data mean mu1=32, population mean mu2=125 alpha level 0.05, multiplier*stddev/sqrt(sample size)= 1.95996*0.0545833/10 `1.95996*0.0545833/10` renvoie `0.0106981084668`
   On tape :
   `a:=normal_icdf(0,sqrt(4469/1500000),0.975)`
   On obtient :
   `0.10698124281`
   Puisque `|f1-f2|=0.07<a=0.10698124281`, on en déduit que les deux échantillons ne sont pas significativement différents au seuil de 5% : on peut donc dire que le vaccin n’est pas efficace mais ce n’est pas une certitude...
   La statistique D2=∑j=1k(nj−ej)2/ej est une bonne mesure de l’écart entre les effectifs observés et les effectifs théoriques : plus D2 est proche de zéro, plus la distribution de l’échantillon est conforme à la distribution théorique.
   On calcule la valeur d2 de D2 on tape :
   `d2:=300*(150*32-68*50)```^```2/(100*200*82*218)`
   On obtient :
   `7350/4469`
   donc d2 ≃ 1.645
   On cherche la valeur h qui vérifie :
   Proba(χ12>h)=0.05 ou encore Proba(χ12 ≤ h)=0.95
   pour cela on tape :
   `chisquare_icdf(1,0.95)`
   On obtient :
   `3.84145882069`
   donc h ≃ 3.84
   Puisque `d2≃ 1.645<3.84` on en déduit que les deux échantillons ne sont pas significativement différents au seuil de 5% : on peut donc mettre en doute l’efficacité du vaccin.
   On tape :
   `?`
   On obtient :
   `?`
2. Exercice
   Sur un registre d’état civil, on a relevé 552 naissances dont 289 garçons.
   a/ Estimer la fréquence `p` de naissance d’un garçon.
   b/ Donner un intervalle de confiance pour cette estimation.
   On tape :
   `?`
   On obtient :
   `?`
3. Exercice
   Dans un hôpital sur un échantillon de 458 malades admis pendant un trimestre il y a eu 141 décès. Estimer le pourcentage de décès par un intervalle de confiance au seuil de 0.01.
   On tape :
   `?`
   On obtient :
   `?`
4. Exercice : comparaison de deux moyennes
   Pour une même épreuve, voici les notes obtenues dans une classe de terminale du lycée A.
   6,10,14,17,9,6,4,12,9,10,10,11,12,18,10,9,11,8,7,10.
   et les notes obtenues dans une classe de terminale du lycée B.
   2,10,14,13,9,6,1,12,9,10,10,10,12,15,19,9,11,8,9,10
   1/ Analyser les résultats de chaque groupe.
   2/ Peut-on considérer que les 2 groupes sont issus d’une même population ?
5. Exercice : comparaison de deux moyennes
   Deux entreprises A et B livrent des pièces dans des paquets de 100 pièces. On note X1 (resp X2) la variable aléatoire égale au nombre de pièces défectueuses par paquet provenant de A (resp B).
   On note X1 (resp X2) la variable aléatoire égale au nombre moyen de pièces défectueuses par paquet pour des échantillons aléatoires de 49 paquets (resp 64 paquets) provenant de A (resp B).
   I) Sur un échantillon de 49 paquets provenant de A on compte le nombre de pièces défectueuses dans chaque paquet et on trouve :
   7, 5, 5, 4, 4, 4, 9, 7, 9, 2, 7, 8, 7, 8, 4, 4, 9, 10,
   5, 10, 6, 4, 5, 6, 1, 2, 5, 7, 8, 0, 6, 0, 1, 5, 2, 0,
   5, 2, 3, 3, 4, 1, 3, 10, 1, 0, 10, 2, 7
   1/ Calculer la moyenne m1 et l’écart-type s1 de cet échantillon.
   2/ Donner une estimation de la moyenne µ1 et de l’écart-type σ1 de X1.
   3/ Donner une estimation de la moyenne et de l’écart-type de X1.
   On tape :
   `?`
   On obtient :
   `?`
   On tape :
   `?`
   On obtient :
   On tape :
   `?`
   On obtient :
   `?`
6. Exercice
   On a administré un somnifère A à 50 personnes choisies au hasard et on a observé une moyenne de sommeil de 8h22 avec un écart-type de 0h24.
   On a administré un somnifère B à 100 personnes choisies au hasard et on a observé une moyenne de sommeil de 7h15 avec un écart-type de 0h30.
   Ces deux somnifères ont-ils une efficacité signicativement différente ? de combien ?
7. Exercice : Échantillons appariés
   On a fait faire une double correction de 30 copies par deux examinateurs A et B afin de comparer leur notation. Les copies sont numerotées de 0 à 29.
   On a obtenu pour A :
   `13,15,12,15,8,7,11,10,9,13,3,18,17,5,9,10,`
   `11,14,12,10,9,8,13,6,8,16,14,11,12,10`
   On a obtenu pour B:
   `12,13,12,15,7,5,12,10,8,13,4,17,16,4,9,11,10,`
   `13,13,9,10,7,14,8,7,15,13,10,13,10`
   On tape :
   `?`
   On obtient :
   `?`
8. Exercice : Jet d’un dé et test du χ2
   On jette un dé 90 fois et on a obtenu :
   1 a été obtenu 11 fois,
   2 a été obtenu 16 fois,
   3 a été obtenu 17 fois,
   4 a été obtenu 22 fois,
   5 a été obtenu 14 fois,
   6 a été obtenu 10 fois.
   Peut-on admettre au vu de cette expérience que le dé est régulier ?
   On tape :
   `?`
   On obtient :
   `?`
9. Exercice : Jet d’un dé et test du χ2
   On jette un dé 180 fois et on a obtenu :
   1 a été obtenu 22 fois,
   2 a été obtenu 32 fois,
   3 a été obtenu 34 fois,
   4 a été obtenu 44 fois,
   5 a été obtenu 28 fois,
   6 a été obtenu 20 fois.
   Peut-on admettre au vu de cette expérience que le dé est régulier ?
   On tape :
   `?`
   On obtient :
   `?`