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6.8.2  Les coefficients binomiaux : comb nCr

comb (ou nCr) a comme paramètre deux entiers positifs n et p.
comb(n,p) ou nCr(n,p) calcule Cnp.
On a :

Cnp=
n!
p!(np)!
=
n(n−1)...(np+1)
p!

On tape :

comb(5,2)

On obtient :

10

Remarque 1
Si n est un entier positif et p un entier négatif alors :
comb(n,p)=nCr(n,p)=0.
Par exemple comb(5,-2)=nCr(5,-2)=0.
Mais, on peut définir comb (ou nCr) avec comme paramètres n entier négatif et p entier positif par :
comb(n,p)= n(n−1)...(np+1)/p!
On tape :

comb(-5,2)

On obtient :

15

En effet −5*−6/2=15
On tape :

comb(-5,3)

On obtient :

-35

En effet −5*−6*−7/6=−35
Remarque 2
On a aussi binomial(n,p)=comb(n,p) lorsque n et p sont deux entiers positifs mais binomial peut admettre un paramètre supplémentaire et dans ce cas binomial(n,p,a) calcule Cnp*ap*(1−a)np.
Remarque 3 : Relation avec la fonction Γ
On a :
comb(n,p)=Gamma(1+n)/(Gamma(1+p)*Gamma(1+n-p))
Quand n est un entier négatif Gamma(1+n) est infini et on a :
comb(n,p)=limit(Gamma(1+x)/(Gamma(1+p)*Gamma(1+x-p),x,n).
Par exemple, on tape :
comb(-5,3),limit(Gamma(1+x)/(Gamma(1+3)*Gamma(1+x-3)),x,-5)
On obtient :
(-35,-35)


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